칸토어 먼지

고전적 프랙탈 가운데 가장 오래된 것 중의 하나가 칸토어 먼지로 1872년에 독일의 수학자 칸토어에 의해 발표되었다. 칸토어 먼지를 칸토어 집합(Cantor Set)이라고도 한다.

추가할 코드는 다음의 두 개의 함수와 외부변수 하나이다. 뷰에만 추가하면 되겠다. MyRectangle 함수에서 마지막 인자는 네모를 그린 후 내부를 칠하는지의 여부를 나타내는 것이다. 만약 이 값을 0으로 주면 속을 채우고, 0이 아닌 값을 주면 속이 빈 사각형을 그린다.

const int N = 95;

void CContorView::MyRectangle(CDC *pDC, int left, int top, int right, int bottom, int IsTrans)
{
        if(IsTrans) {
                pDC->MoveTo(left, top);
                pDC->LineTo(right, top);
                pDC->LineTo(right, bottom);
                pDC->LineTo(left, bottom);
                pDC->LineTo(left, top);
        }
        else
                pDC->Rectangle(left, top, right, bottom);
}

void CContorView::Contor(CDC *pDC, int x, int y, int r)
{
if(r>0) {
MyRectangle(pDC, x, y, x+N, y+r, 0);

                Contor(pDC, x+N+10, y, r/3);
                Contor(pDC, x+N+10, y+r*2/3, r/3);
        }
}

실제로 화면에 그리는 함수인 OnDraw는 다음과 같다. 내부를 밝은 녹색으로 채웠다. Contor 함수에서 4번째 인자를 적절히 바꾸어서 컴파일해 보면 상하 길이가 바뀐다.(여기서는 100을 주었다.)

void CContorView::OnDraw(CDC* pDC)
{
        CContorDoc* pDoc = GetDocument();
        ASSERT_VALID(pDoc);
        // TODO: add draw code for native data here
        CBrush brush, *pOldBrush;

        brush.CreateSolidBrush(RGB(0x90, 0xEE, 0x90));
        pOldBrush = (CBrush *)pDC->SelectObject(&brush);

        Contor(pDC, 0, 0, 100);
        pDC->SelectObject(pOldBrush);
}

시어핀스키 양탄자

역사로 따지면 칸토어 먼지(1872년) 다음은 코호 곡선(1904년) 순이나 우선 코호 곡선 다음 순에 해당하는 시어핀스키 양탄자(1910년대 말)에 대해 알아보자.

<A=0.9 일 경우> <A=10 일 경우>

여기서 추가해야 할 코드는 다음에 보듯이 외부 변수 A 하나와 s_carpet 이란 함수 하나이다. 그리고 앞서 칸토어 먼지에서 작성했던 MyRectangle 함수는 그대로 사용하였다.

float A = 10;

void CContorView::s_carpet(CDC *pDC, int x, int y, float r)
{
if(r > A) {
MyRectangle(pDC, int(x-r/6), int(y-r/6), int(x+r/6), int(y+r/6), 0);

                s_carpet(pDC, int(x-r/3), int(y-r/3), r/3); // 상좌
                s_carpet(pDC,     x,      int(y-r/3), r/3); // 상중
                s_carpet(pDC, int(x+r/3), int(y-r/3), r/3); // 상우
                s_carpet(pDC, int(x-r/3),     y,      r/3); // 중좌
                s_carpet(pDC, int(x+r/3),     y,      r/3); // 중우
                s_carpet(pDC, int(x-r/3), int(y+r/3), r/3); // 하좌
                s_carpet(pDC,     x,      int(y+r/3), r/3); // 하중
                s_carpet(pDC, int(x+r/3), int(y+r/3), r/3); // 하우
        }
}

OnDraw 함수는 앞서의 칸토어 먼지와 동일하지만 Contor 함수 대신에 s_carpet 함수를 사용한 것만 다르다. 외부 변수 A 값을 0.3에서 10 사이의 값 중에서 적당히 바꾸어 보면 약간씩 모양이 변하는 것을 볼 수 있을 것이다.

void CContorView::OnDraw(CDC* pDC)
{
        CContorDoc* pDoc = GetDocument();
        ASSERT_VALID(pDoc);
        // TODO: add draw code for native data here
        CBrush brush, *pOldBrush;

        brush.CreateSolidBrush(RGB(0x90, 0xEE, 0x90));
        pOldBrush = (CBrush *)pDC->SelectObject(&brush);

        s_carpet(pDC, 100, 100, 200);
        pDC->SelectObject(pOldBrush);
}

사선의 아래

< B = 1 인 경우 > < B = 5 인 경우 >

그림에서 볼수 있듯이 대각선의 아래에 사각형이 색깔별로 그려진 프랙탈이다. 코드에서는 창의 크기를 제한하지 않았기 때문에 아래쪽과 오른쪽으로 그림이 좀 삐져나갈 것이다. SelectColor 함수는 도스에서의 16컬러를 본따서 만들어 본 함수이다. 도스에서의 16 컬러에서 Light Red 와 Light Magenta 라는 색은 실제로 없는 것 같다. 그래서 임의로 다른 색을 선정했다.

다음에 보인 코드는 외부변수 하나와 함수 2개를 추가한 것이다. 외부변수 B를 적당히 바꾸어 주면 모양이 조금씩 바뀌는 것을 볼 수 있다.

float B=5;

void CContorView::SaSunARe(CDC *pDC, int x, int y, float r, int n)
{
CBrush brush, *pOldBrush;

        brush.CreateSolidBrush(SelectColor(n%6+9));
        pOldBrush = (CBrush *)pDC->SelectObject(&brush);

        MyRectangle(pDC, x, y, int(x+r*B), int(y+r*B), 0);
        pDC->SelectObject(pOldBrush);

        if(r > 0.5) {
                SaSunARe(pDC, int(x-r*2/3), int(y+r/2), r/2, n+1);
                SaSunARe(pDC, int(x+r*2/3), int(y-r/2), r/2, n+1);
        }
}

COLORREF CContorView::SelectColor(int n)
{
        switch(n) {
        case 0 : return RGB(0, 0, 0);       // BLACK
        case 1 : return RGB(0, 0, 255);     // BLUE
        case 2 : return RGB(0, 255, 0);    // GREEN
        case 3 : return RGB(0, 255, 255);   // CYAN
        case 4 : return RGB(255, 0, 0);     // RED
        case 5 : return RGB(255, 0, 255);   // MAGENTA
        case 6 : return RGB(165, 42, 42);   // BROWN
        case 7 : return RGB(211, 211, 211); // LIGHTGRAY
        case 8 : return RGB(169, 169, 169); // DARKGRAY
        case 9 : return RGB(173, 216, 230); // LIGHTBLUE
        case 10 : return RGB(144, 238, 144); // LIGHTGREEN
        case 11 : return RGB(224, 255, 255); // LIGHTCYAN
        case 12 : return RGB(255, 182, 193); // LIGHGTPINK
        case 13 : return RGB(255, 160, 122); // LIGHTSAMON
        case 14 : return RGB(255, 255, 0);   // YELLOW
        case 15 : return RGB(255, 255, 255); // WHITE
        }
}

이번에 OnDraw 함수에 써 줄 내용은 단 한 줄 뿐이다. SaSunARe 함수의 두 번째와 세 번째 인자는 처음 그려지는 사각형(가장 큰 사각형)의 왼쪽 상단 좌표이고, 네 번째 인자는 그 사각형의 한 변의 길이가 된다. 이 값들을 적당히 바꾸어 주면 모양이 또 바뀌게 된다.

void CContorView::OnDraw(CDC* pDC)
{
        CContorDoc* pDoc = GetDocument();
        ASSERT_VALID(pDoc);
        // TODO: add draw code for native data here
        SaSunARe(pDC, 100, 100, 100 , 0);
}

불거진 풍선

< B = 1 인 경우 > < B = 5 인 경우 >

위의 '사선아래' 의 코드에서 조금만 바꾸어 주면 위와 같은 그림이 된다. 바뀐 내용은 함수 하나가 추가된 것과 SaSunARe 함수에서 굵은 글씨부분이 바뀐 것이다. 그 외 OnDraw 함수의 내용은 동일하다. 그러니까 사각형 대신에 원을 그린 것이다. 그리고 FillEllipse 함수의 인자에 타입 캐스팅을 한 건 그저 경고 메시지를 줄여보기 위한 것이다. 타입 캐스팅을 하지 않아도 전혀 상관없다. 물론 경고 몇 개가 뜨겠지만 효과는 같을 것이다.

float B=5;

void CContorView::SaSunARe(CDC *pDC, int x, int y, float r, int n)
{
CBrush brush, *pOldBrush;

        brush.CreateSolidBrush(SelectColor(n%6+9));
        pOldBrush = (CBrush *)pDC->SelectObject(&brush);

        //MyRectangle(pDC, x, y, int(x+r*B), int(y+r*B), 0);
        FillEllipse(pDC, x, y, int(r*B), int(r));
        pDC->SelectObject(pOldBrush);

        if(r > 1) {
                SaSunARe(pDC, int(x-r*2/3), int(y+r/2), r/2, n+1);
                SaSunARe(pDC, int(x+r*2/3), int(y-r/2), r/2, n+1);
        }
}

void CContorView::FillEllipse(CDC *pDC, int x, int y, int xr, int yr)
{
pDC->Ellipse(x-xr, y-yr, x+xr, y+yr);
}